*6. 적분법(Integration)
적분은 미분의 역산으로 연속확률변수에 대한 확률을 계산할 때 사용한다. 또한 연속확률변수의 확률밀도함수를 적분하여 분포함수를 얻으므로 적분의 개념은 확률에서 매우 중요하다.
1. 부정적분(Indefinite Integral)
- 연속함수 $f(x)$ 가 주어졌을 때, 이 함수를 도함수로 가지는 함수 $F(x)$가 존재하면, 함수 $F(x)$ 를 $f(x)$ 의 부정적분(Indefinite Integral) 또는 원시함수(Primitive Function) 라 한다.
- 따라서 두 함수 사이에는 다음 관계가 성립한다.
$$F'(x) = f(x)$$
- 이 때, $F(x)$ 를 다음과 같이 나타내며, 기호 $\int$ 를 적분 기호(Symbol of Integral), $f(x)$ 를 피적분함수(Integrand), 그리고 $x$ 를 적분 변수(Variable of Integrand) 라 한다. (여기서 $C$ 는 상수이다.)
$$F(x) = \int f(x)dx + C$$
- 한편, 함수 $f(x)$의 특정한 부정적분을 $F(x)$ 라 하면, 다음이 성립한다.
$$\{F(x) + C\}' = F'(x) + C' = F'(x) = f(x)$$
- 그러므로 함수 $F(x) + C$ 도 역시 함수 $f(x)$ 의 부정적분이다.
- 따라서 함수 $f(x)$ 의 부정적분을 $F(x)$와 $G(x)$라 하면 다음 관계가 성립한다.
- 이 때, 상수 $C$ 를 적분 상수(Integration Constant) 라 한다.
$$F(x) - G(x) = C$$
- 일반적으로 함수 $f(x)$의 부정적분은 적분상수 $C$ 를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.
$$\int f(x)dx = F(x) + C$$
2. 적분법
- 임의의 상수 $a, b$와 미분가능한 두 함수 $F(x), G(x)$ 에 대해 다음 사실을 알고 있다.
$$\{aF(x) + bG(x)\}' = aF'(x) + bG'(x)$$
- 적분은 미분의 역산이므로 다음이 성립한다.
$$\int [aF'(x) + bG'(x)]dx = aF(x) + bG(x)$$
- 그러므로 두 함수 $F(x)$ 와 $G(x)$ 를 각각 $f(x)$ 와 $g(x)$ 의 원시함수라고 하면, $F'(x) = f(x)$, $G'(x) = g(x)$ 이고 다음이 성립한다.
$$F(x) = \int f(x)dx, G(x) = \int g(x)dx$$
- 따라서 적분에 대한 다음의 기본 공식을 얻을 수 있다.
[적분의 기본 공식] $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 적분가능하면, 다음이 성립한다.
$\int [af(x) + bg(x)]dx = a \int f(x)dx + b \int g(x)dx$ |
■ 초월함수의 적분법
-적분은 미분의 역산이므로, 미분법의 역산 규칙에 의해 기본적인 적분 공식을 얻는다.
[기본 함수의 적분법]
(1) $\int x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C$ (단, $a \neq -1$ 인 실수) (2) $\int \frac{1}{x} dx = lnx + C$ (3) $\int e^{x}dx = e^{x} + C$ |
- 또한 미분법의 역산 규칙에 의해 다음 삼각함수의 적분법을 얻는다.
[삼각함수의 적분법]
(1) $\int sinxdx = -cosx + C$ (2) $\int cosxdx = sinx + C$ (3) $\int \text{sec}^{2}xdx= tanx + C$ (4) $\int \text{cosec}^{2}xdx= -cotx + C$ (5) $\int secx tanx dx= secx + C$ (6) $\int cosecx cotx dx= -cosecx + C$ |
■ 치환적분법
- 함수 $F(u)$ 가 함수 $f(u)$ 의 원시함수이고, $u = g(x)$ 가 미분가능하면, 합성함수의 미분법에 의해 $y = F(g(x))$ 의 도함수는 다음과 같다.
$$\frac{d}{dx} F(g(x)) = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f(g(x))g'(x)$$
- 따라서 $F(g(x))$ 는 $f(g(x))g'(x)$ 의 원시함수이고, 다음이 성립한다.
$$\int f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C$$
- 그러므로 피적분함수가 $f(g(x))g'(x)$ 일 때, $u = g(x)$ 로 치환하면 $g'(x)dx = du$ 이다.
- 그러면 이 피적분함수의 적분 결과는 다음과 같으며, 이를 치환적분법(Integration by Substitution) 이라 한다.
$$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du = F(u) + C = F(g(x)) + C$$
- 그러면 치환적분법을 이용하여 다음의 적분 공식을 얻을 수 있다.
[치환적분 공식] (1) $\int [f(x)]^{n} f'(x)dx = \frac{1}{n+1}[f(x)]^{n+1} + C$ (단, $n \neq -1$) (2) $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = ln \left\vert f(x) \right\vert + C$ |
■ 부분적분법
- 두 함수 $u = f(x)$, $v = g(x)$의 곱에 대한 미분법은 다음과 같다.
$$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
- 따라서 양변을 적분하면 다음을 얻는다.
$$\int [f'(x)g(x) + f(x)g'(x)]dx = f(x)g(x)$$
- 그러면 피적분함수가 $f(x)g'(x)$ 인 경우에 다음과 같이 부정적분을 구할 수 있다.
$$\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$$
- 이와 같은 방법에 의해 부정적분을 구하는 방법을 부분적분법(Integration by Parts) 이라 하며, 피적분함수가 다항식과 초월함수의 곱으로 구성된 경우에 사용한다.
3. 정적분과 기본 정리
- 함수 $f(x)$ 가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이고, 이 구간에서 $f(x) \ge 0$ 이라고 하자.
- 그리고 함수 $y = f(x)$ 와 직선 $x = a, x = b$ 그리고 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $I$라 하자.
- 이제 폐구간 $[a, b]$를 $n$등분하여 양 끝점과 각 분할된 점의 $x$ 좌표를 다음과 같이 나타낸다.
$$a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n-1} < x_{n} = b$$
- 그리고 소구간의 길이를 $\frac{b-a}{n} = \Delta x$ 라 하면, 각 분할 점 $x_{k}$ 는 다음과 같다.
$$x_{k} = a + k \Delta x = a + \frac{k}{n}(b - a)$$
- 이 때, $n$의 사각형의 넓이의 합을 $S_{n}$이라 하면, $n$이 커질수록 $S_{n}$의 넓이는 $I$에 가까워지게 된다.
- 실제로 $n$이 커질수록 사각형의 넓이의 합 $S_{n}$은 반드시 수렴하며, $\lim_{n \to \infty}S_{n} = I$ 이다.
- 즉, 다음이 성립한다.
$$\lim_{n \to \infty}S_{n} =\lim_{n \to \infty}f(x_{k}) \Delta x = I$$
- 이 극한값 $I$ 를 폐구간 $[a, b]$에서 함수 $f(x)$의 정적분(Definite Integral)이라 하고, 다음과 같이 나타낸다.
$$I = \lim_{n \to \infty}S_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_{k}) \Delta x = \int_{a}^{b} f(x)dx$$
- 극한값 $I$가 존재할 때, 함수 $f(x)$는 폐구간 $[a, b]$에서 적분가능(Integrable) 하다고 하고, $a$ 를 적분하한(Lower Limit of Integration), $b$ 를 적분상한(Upper Limit of Integration) 이라 한다.
- 그러면 폐구간에서 연속인 함수는 반드시 적분가능하다.
- 따라서 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이고, 이 구간에서 $f(x) \ge 0$ 인 함수 $y = f(x)$ 의 정적분은 곡선 $y = f(x)$ 와 $x = a, x = b$ 그리고 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.
- 이러한 사실은 연속확률변수에 대한 확률을 계산할 때 응용된다.
- 분할 크기 N에 따른 사각형들의 넓이
- 정적분은 부정적분의 성질을 갖는다.
[정적분의 성질] (1) $\int_{a}^{b} [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx$ (2) $\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(u)du = [f(u)]_{\alpha}^{\beta}$ (단, $\alpha = g(a), \beta = g(b)$ (3) $\int_{a}^{b} f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x)g(x)dx$ |
4. 이상적분
- 정적분을 정의하기 위한 조건은 적분구간이 폐구간 $[a, b]$ 이고, 이 구간에서 함수 $y = f(x)$가 연속이어야 한다.
- 적분구간이 무한인 경우의 정적분을 이상적분(Improper Integral)이라 한다.
■ 무한구간이 $[a, \infty)$ 또는 $(-\infty, a]$ 인 경우
- 무한구간 $[a, \infty)$ 에서 연속함수 $f(x)$의 정적분은 다음과 같이 정의한다.
$$\int_{a}^{\infty} f(x)dx = \lim_{M \to \infty} \int_{a}^{M} f(x)dx$$
- 그리고 무한구간 $(-\infty, a]$ 에서 연속함수 $f(x)$의 정적분은 다음과 같이 정의한다.
$$\int_{-\infty}^{a} f(x)dx = \lim_{M \to -\infty} \int_{M}^{a} f(x)dx$$
- 이 때, 극한값이 존재하면 이상적분 $\int_{a}^{\infty} f(x)dx$ 와 $\int_{-\infty}^{a} f(x)dx$ 는 수렴한다(Convergent) 고 하고, 수렴하지 않는 경우에는 이상적분이 발산한다(Divergent) 고 한다.
■ 무한구간이 $(-\infty, \infty)$ 인 경우
- 함수 $f(x)$가 모든 실수 범위에서 연속이라 하자.
- 이 때, 임의의 실수 $a$ 에 대해 $\int_{-\infty}^{a} f(x)dx$ 와 $\int_{a}^{\infty} f(x)dx$ 가 존재할 때, 적분구간 $(-\infty, \infty)$ 에서 이상적분은 다음과 같이 정의한다.
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^{a} f(x)dx + \int_{a}^{\infty} f(x)dx$$
- 특히, 무한구간 $(-\infty, \infty)$ 에서 연속이고, 음이 아닌 함수 $f(x)$ 가 다음을 만족하면, 이 함수 $f(x)$를 확률밀도함수(Probability Density Function) 라고 한다.
$$\int_{-\infty}{\infty} f(x)dx = 1$$
내용 출처 : 확률과 통계 입문(이재원 저, 한빛아카데미)
