3. 경우의 수(Number of Cases)

*3. 경우의 수(Number of Cases)

어떤 사건이 나타날 수 있는 모든 경우의 수를 구하는 것은 매우 중요하며, 이러한 개념은 확률 계산의 기초가 된다.

1. 합의 법칙과 곱의 법칙

■ 합의 법칙(Rule of Addition)

- 동시에 발생하지 않는 두 사건 A와 B가 일어나는 경우의 수를 각각 m과 n이라고 할 때, 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수 m + n

- 서로소인 두 집합 A와 B의 원소를 각각 n(A)와 n(B)라고 할 때, 합집합 A∪B의 원소의 수는 n(A∪B) = n(A) + n(B)

- 예)

책상 위에 서로 다른 연필 5자루와 서로 다른 볼펜 4자루가 있을 때,   연필 한 자루를 선택하는 사건 : A (n(A) = 5)  볼펜 한 자루를 선택하는 사건 : B (n(B) = 4)  이 때, 연필과 볼펜 중에서 어느 하나를 선택하는 사건은 A∪B 이고, n(A∪B) = n(A) + n(B) = 9 이다.

■ 곱의 법칙(Rule of Multiplication)

- 사건 A가 일어나는 모든 경우의 수가 m이고, 사건 A가 일어나는 각각의 경우에 대해 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n이라 할 때, 두 사건 A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수 m × n

- 예)

[주사위를 두 번 던져서 나올 수 있는 모든 경우의 수 구하기]    첫 번째에 나온 눈의 수를 x, 두 번째에 나오는 눈의 수를 y라 하면,  처음에 나온 눈의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6으로 6가지이고, 그 각각에 대해 두 번째 나온 눈의 수가 6가지 있다.  따라서 주사위를 두 번 던져서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 곱의 법칙에 의해 6 × 6 = 36가지이다.

2. 순열

- n 계승(n Factorial) : 1부터 n까지 연속인 자연수들의 곱

- 순열(Permutation) : 서로 다른 n개에서 r개를 선택하여 순서대로 나열하는 방법 

- 예) 4개 중에서 서로 다른 2개를 선정하여 순서대로 나열하는 방법의 수

- r = 1, 2, … n일 때, 순열의 수는 다음의 성질을 갖는다.

3. 조합

- 조합(Combination) : 서로 다른 n개 중에서 순서를 생각하지 않고 r개를 선택하는 방법

- 예) 4개 중에서 서로 다른 2개를 선정하는 조합의 수

- 조합의 수는 다음의 성질을 갖는다.

- 이와 같은 조합의 수를 이용하면 (a+b)ⁿ을 전개한 식을 쉽게 얻을 수 있다.

- 일반적으로 자연수 n에 대해 (a+b)ⁿ의 전개식에서 조합의 수를 이용하여 계수를 나타내면 다음과 같으며, 이를 이항 정리(Binomial Theorem)이라 한다.

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내용 출처 : 확률과 통계 입문(이재원 저, 한빛아카데미)