5. 미분법(Differentiation Rules)

*5. 미분법(Differentiation Rules)

도함수는 그래프 위의 한 점에서 접선의 방정식을 구하거나 함수의 최댓값과 최솟값을 구하기 위한 도구로 사용될 뿐만 아니라 확률에서도 매우 중요한 역할을 한다.

1. 미분 계수와 도함수

■ 평균변화율(Average Rate of Change)

- 함수 y = f(x)에 대해 아래의 그림과 같이 x가 a에서 b까지 변할 때, y의 값은 f(a)에서 f(b)로 변한다.

- 이 때, x의 변화량 b - a 를 x의 증분(Increments)이라 하고, Δx = b - a 로 나타낸다.

- 그리고 y의 변화량 f(b) - f(a)를 y의 증분이라 하고 Δy = f(b) - f(a) 로 나타낸다.

- 그리고 다음과 같이 정의되는 x 증분의 비율을 x 가 a 에서 b 까지 변할 때 함수 y = f(x) 의 평균변화율(Average Rate of Change)이라 한다.

- 평균변화율은 그래프 위의 두 점 P(a, f(a)), Q(b, f(b))를 지나는 직선의 기울기와 같다.

■ 순간변화율(Instantaneous Rate of Change) = 미분 계수(Differentiation Coefficient)

- b = a + Δx 가 a에 가까워진다면, (Δx → 0) 아래의 그림과 같이 그래프 위의 점 Q는 곡선을 따라서 점 P에 가까워진다.

- 이 때, 다음과 같은 평균변화율의 극한값이 존재한다면,  f(x)는 x = a 에서 미분가능하다(Differentiable)고 한다.

- 이 극한값을 x = a 에서 함수 f(x)의 순간변화율(Instantaneous Rate of Change) 또는 미분 계수(Differentiation Coefficient)라고 하고, f'(a)로 나타낸다.

- 즉, x = a 에서 함수 f(x)의 순간변화율은 다음과 같이 정의한다.

- 순간변화율 f'(a)가 존재한다면, 그래프 위의 두 점 P와 Q를 지나는 직선은 점 P에서의 접선 PT에 한없이 가까워진다.

- 따라서 함수 y = f(x)의 x = a 에서의 미분계수 f'(a)는 점 P(a, f(a))에서의 접선의 기울기이고, 이 점에서 접선의 방정식은 다음과 같다.

- 함수 y = f(x) 의 x = a 에서의 미분 가능 조건은 다음과 같다.

- [미분 가능성과 연속성] 함수 f(x)가 x = a 에서 미분 가능하면, 함수 f(x) 는 x = a 에서 연속이다. 

- 하지만 역은 성립하지 않는다. (f(x) 가 x = a 에서 연속이면, 함수 f(x)는 x = a 에서 무조건 미분 가능하지 않다. 반례: f(x) = |x| )

■ 도함수(Derivative)

- 함수 y = f(x) 의 정의역 안의 미분가능한 점 x 에 대해 그 점에서의 미분계수 f'(x)를 대응시키는 새로운 함수 f': x → f'(x) 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

- 이와 같이 유도된 함수 f'(x)를 함수 f(x)의 도함수(Derivative) 라 하고, 다음과 같이 나타낸다.

- 함수 y = f(x) 에 대한 도함수 f'(x)를 구하는 것을 미분한다(Differentiate)고 하고, 도함수를 구하는 방법을 미분법(Differentiation)이라 한다.

2. 미분법

- 함수의 도함수를 구하기 위해 매번 도함수의 정의를 사용하는 것은 매우 불편하다.

- 따라서 도함수를 구하기 위한 다양한 종류의 미분법과 확률에서 나타나는 특수한 함수들의 도함수들이 존재한다.

■ $x^{α}$의 미분법

- [정리] 임의의 실수 $\alpha$에 대해 $(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}$ 이다.

- 양의 정수 $m$과 $n(\neq0)$ 에 대해 $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$ , $\sqrt[n]{x^{m}} = x^{m/n}$ 으로 나타낸다.

- 이와 같이 지수가 음의 정수와 유리수인 경우의 도함수를 양의 지수를 갖는 경우와 동일한 방법으로 구할 수 있다. 

- 그리고 이 방법은 지수가 무리수인 경우에도 적용된다.

- 특히, $\alpha = 0$ 이면, $x^0 = 1$ 이고, $(1)' = (x^0)' = 0(x^{-1}) = 0$ 이다.

■ 미분법의 기본 공식

- 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 미분 가능하면 다음이 성립한다.

(1) $[kf(x)]' = kf'(x)$ 단, $k$는 상수  (2) $[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$ (복부호 동순)  (3) $[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$  (4) $[ \frac{1}{g(x)} ]' = - \frac{g'(x)}{[g(x)]^2}$  (5) $[\frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

- (3)을 세 함수 $f(x), g(x), h(x)$에 적용하면 다음과 같다.

$[f(x)g(x)h(x)]' = f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x)$

■ 합성 함수의 미분법

 - 합성 함수에 대해 쉽게 미분하는 방법으로 연쇄 법칙(Chain Rule)이 있다.

연쇄 법칙(Chain Rule)  두 함수 $y = f(x)$와 $u = g(x)$가 각각 미분 가능하면, 합성 함수 $y = f(g(x))$ 도 미분 가능하고, 다음이 성립한다.  $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(g(x))g'(x)$

- 연쇄 법칙은 세 함수 이상이 합성된 경우에도 적용할 수 있다.

- 만일 세 함수 $y = f(x)$, $u = g(x)$, $v = h(x)$가 미분 가능하면, $y = f[g(h(x))]$도 미분 가능하고, 그 결과는 다음과 같다.

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

- 또한 미분 가능한 함수 $f(x)$에 대해 미분법과 연쇄 법칙을 이용하면 다음을 얻는다.

$[{f(x)}^{\alpha}]' = \alpha{f(x)}^{\alpha - 1}f'(x)$

■ 초월 함수의 미분법

- 가장 기본적인 초월 함수인 지수 함수, 로그 함수 그리고 삼각 함수의 미분법과 이 함수들의 합성 함수 또한 도함수를 쉽게 구할 수 있다.

- 지수 함수와 로그 함수의 미분법

(1) 함수 $y = e^x$은 모든 실수에서 미분 가능하며, $(e^x)'=e^x$ 이다.  (2) 함수 $y = lnx$는 $x > 0$에서 미분 가능하며, $(lnx)' = \frac{1}{x}$이다.

- 위의 정리와 연쇄 법칙을 적용하면 미분 가능한 함수 $f(x)$에 대해 다음을 얻는다.

$\{e^{f(x)}\}' = f'(x)e^{f(x)}$, $\{lnf(x)\}' = \frac{f'(x)}{f(x)}$

- 삼각 함수의 도함수는 다음과 같이 구할 수 있다.

(1) $(sinx)' = cosx$  (2) $(cosx)' = -sinx$  (3) $(tanx)' = sec^{2}x$  (4) $(secx)' = secxtanx$  (5) $(cosecx)' = -cosecxcotx$  (6) $(cotx)' = -cosec^{2}x$

■ 고계도 함수

- 함수 $y = f(x)$가 미분 가능하면, 도함수 $f'(x)$의 도함수를 함수 $y = f(x)$의 2계 도함수라 하고 다음과 같이 나타낸다. 

- 또한, 2계 도함수 $f''(x)$가 미분 가능할 때, $f''(x)$의 도함수를 $y = f(x)$의 3계 도함수라 하고 다음과 같이 나타낸다.

- 일반적으로, 함수 $y = f(x)$를 연속적으로 $n$번 미분하여 얻은 함수를 $y = f(x)$의 n계 도함수라 하고, $x \geq 4$인 경우에 다음과 같이 나타낸다. 그리고 이러한 도함수들을 함수 $y = f(x)$의 고계도 함수(Higher Derivative)라 한다.

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내용 출처 : 확률과 통계 입문(이재원 저, 한빛아카데미)