4. 함수의 극한과 연속

*4. 함수의 극한과 연속

함수의 극한은 도함수를 정의하기 위한 기초 도구로 사용된다.

함수의 연속성은 연속확률변수와 확률분포에서 매우 중요한 역할을 담당한다.

그러므로 함수의 극한과 연속성에 대해 정확하게 이해하는 것은 매우 중요하다.

1. 함수의 극한

- 일반적으로 a가 아닌 변수 x가 실수 a에 가까워질수록 함숫값 f(x)가 일정한 값 L에 한없이 가까워진다고 할 때, x가 a에 가까워질수록  f(x)는 L에 수렴한다(Converge)고 하고, L을 x  →  a일 때, 함수  f(x)의 극한(Limit)이라 한다. 

- 예)

- 특히 x < a 이고, x → a 일 때, 함수 f(x) → L₁ 이면, 극한 L₁ 을 좌극한(Left Hand Limit)이라 하고, x > a 이고 x → a 일 때, 함수 f(x) → L₂ 이면, L₂ 를 우극한(Right Hand Limit)이라 한다. 그리고 좌극한과 우극한을 다음과 같이 나타낸다.

- 따라서 극한이 존재하기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

- 일반적으로 x가 한없이 커질 때, 함숫값 f(x)가 일정한 값 L에 한없이 가까워지면 양의 무한대에서 f(x)는 L에 수렴한다고 하고, 다음과 같이 나타낸다.

- x가 음수이고 그 절댓값이 한없이 커질 때, 함숫값  f(x)가 일정한 값 L에 한없이 가까워지면 음의 무한대에서f(x)는 L에 수렴한다고 하고, 다음과 같이 나타낸다.

- x가 a에 가까워질수록 함숫값 f(x)가 한없이 커지는 경우에, x → a 이면 f(x)는 양의 무한대로 발산한다(Diverge)고 하고, 다음과 같이 나타낸다.

- x가 a에 가까워질수록 함숫값 f(x)가 음수이고, 그 절댓값이 한없이 커지는 경우에,  x → a 이면 f(x)는 음의 무한대로 발산한다고 하고, 다음과 같이 나타낸다.

- x가 한없이 커질수록 f(x)가 한없이 커지는 경우와 x가 음수이고 그 절댓값이 한없이 커질수록 f(x)가 한없이 커지는 경우는 각각 다음과 같이 나타낸다.

- x가 한없이 커질수록 f(x)가 음수이고, 그 절댓값이 한없이 커지는 경우와 x가 음수이고 그 절댓값이 한없이 커질수록 f(x)가 음수이고, 그 절댓값이 한없이 커지는 경우는 각각 다음과 같이 나타낸다.

- 함수의 극한에 의해 다음 성질이 성립한다. (k는 상수)

- a를 포함하는 어떤 구간에서 다음이 성립한다.

- 압축 정리(조임 정리, Sandwich Theorem)

a를 포함하는 어떤 구간에서 다음이 성립한다.

2. 함수의 연속성

- 함수 y = f(x)가 다음과 같은 세 가지 조건을 만족할 때, 함수 y = f(x)는 x = a에서 연속(Continuous)이라 한다.

- 함수 y = f(x)가  x = a에서 연속이 아닐 때, y = f(x)는 x = a에서 불연속(Discontinuous)이라 한다.

- x = a 에서 연속인 두 함수의 사칙연산에 대해 다음이 성립한다.

두 함수 f(x)와 g(x)가 x = a 에서 연속이면, 다음 함수들도 x = a 에서 연속이다.

- 함수 f(x) 가 어떤 구간 안의 모든 점에서 연속이면, 간단히 함수 f(x)는 구간에서 연속이라 한다.

- 특히 함수 f(x)가 개구간 (a, b)에서 연속이고, 양 끝점에서 다음이 성립하면, 함수 f(x)는 폐구간 [a, b]에서 연속이라 한다.

- 그러면 폐구간에서 연속인 함수에 대해 다음 성질이 성립한다.

ⓛ 최대 최소 정리(Mini-Max Theorem, Extreme Value Theorem))  - 함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면, 폐구간 [a, b]에서 함수 f(x)의 최댓값과 최솟값이 반드시 존재한다.

② 중간값 정리(Intermediate Value Theorem)  - 함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이고, f(a) ≠ f(b) 이면, f(a)와 f(b) 사이의 임의의 실수 k에 대해 f(c) = k 를 만족하는 c가 개구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다.

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내용 출처 : 확률과 통계 입문(이재원 저, 한빛아카데미)