2. 함수(Function)

*2. 함수(Function)

확률 현상에서 발생하는 특정한 성질을 나타내기 위해 확률변수를 사용하는데, 이때 확률변수에 대한 함수를 이용하면 확률을 쉽게 계산할 수 있다.

따라서 함수는 확률을 계산할 때, 꼭 필요한 기본적인 개념이다.

1. 함수의 의미

- 공집합이 아닌 두 집합 X와 Y에 대해 X 안의 각 원소 x를 Y 안에 있는 오직 한 원소 y에 대응시키는 관계를 함수(Function)라고 하고, 다음과 같이 나타낸다.

- 이 때, x의 집합 X를 함수 f의 정의역(Domain)이라 하고 dom(f)로 나타낸다.

- 그리고 y의 집합 Y를 함수 f의 공역(Codomain)이라 한다.

- 특히, y = f(x)를 함수라 하면, x 값이 정해지면 대응 관계 f에 의해 y 값이 오직 하나만 정해진다.

- 따라서 x를 독립 변수(Independent Variable)라 하고, y를 종속 변수(Dependent Variable) 또는 x의 함숫값(Value of Function)이라 한다.

- 그리고 다음과 같이 집합 X 안의 모든 원소 x에 대한 함숫값들의 집합을 함수 f의 치역(Range)이라 하고, f(x) 또는 ran(f)로 나타낸다.

- 그러면 X에서 Y로의 함수 f에 대해 f의 치역은 공역 Y의 부분집합, 즉 f(X) ⊆ Y 이다.

- 공역과 치역

- X에서 Y로의 함수 y = f(x)에 대해 순서쌍 (x, y) 전체의 집합을 함수y = f(x)의 그래프(Graph)라고 한다.

2. 함수의 종류

■ 상수 함수(Constant Function)

- 정의역 안의 모든 원소가 공역 안의 한 원소와 대응을 이루는 함수

- 임의의 x ∈ X에 대해서 f(x) = y ∈ Y로 대응되는 함수

- 함숫값이 일정한 함수

- y = f(x) = a를 만족하는 함수

■ 항등 함수(Identity Function)

- 임의의 x ∈ X에 대해서 f(x) = x로 대응되는 함수

- 자기 자신으로 대응을 이루는 함수

-  y = f(x) = x를 만족하는 함수

■ 일대일 함수(One-To-One Function) = 단사 함수(Injection; Injective Function)

- 정의역의 서로 다른 원소를 공역의 서로 다른 원소로 대응시키는 함수

- 다음의 조건을 만족시키는 함수

■ 전사 함수(Surjection; Surjective Function)

- 공역과 치역이 같은 함수

- 임의의 에 대하여, 인 가 존재

- f(x) = Y

■ 일대일 대응 함수(One-To-One Correspondence Function) = 전단사 함수(Bijection, Bijective Function)

- 일대일 함수(단사 함수)이면서 전사 함수인 함수

- 임의의 에 대하여, 인 유일한 가 존재

3. 함수의 연산과 합성

■ 함수의 상등

- 실수 전체의 집합 R에서 R로의 함수 f: R → R과 g: R → R에서 두 함수 f와 g가 다음의 두 조건을 만족하면, 두 함수 f와 g는 서로 상등(Equal)이라 하고 f = g 로 나타낸다.

- 이 때, 두 함수 f와 g가 상등이 아니면, f와 g는 서로 같지 않다고 하며 f ≠ g 로 나타낸다.

① 두 함수의 정의역이 같다. 즉, dom(f) = dom(g)이다.  ② 정의역 안의 모든 원소 x에 대한 함숫값이 같다. 즉, f(x) = g(x) 이다.

■ 함수의 연산

- 두 함수 f와 g에 대해 사칙연산을 적용하여 새로운 함수를 만들 수 있다.

- 이 때, 사칙연산에 의해 생성된 새로운 함수는 두 함수의 정의역의 교집합에서 정의되는 것에 유의해야 한다.

함수의 사칙연산	정의역

- 세 함수 f+g, f-g, fg의 정의역은 모든 실수이지만, 함수 f/g의 정의역은 1이 아닌 모든 실수이다. (증명 :  f(x) = x, g(x) = x - 1)

-  k < 0에 대해 함수 kf는 함수 f를 x축에 대해 대칭 이동하여 k배 만큼 늘리거나 줄인 함수이다. (5)

■ 함수의 합성

- 두 함수 f: X → Y와 g: Y → Z에 대해 함수 f에 의해 x ∈ X가 y = f(x) ∈ Y에 대응하고, 이 원소 y가 함수 g에 의해 z = g(y) ∈ Z로 대응한다고 하면, 집합 X의 원소 x는 집합 Z의 원소 z로 대응을 이룬다.

- 이 때, 집합 X로부터 집합 Z로의 함수를 g와 f의 합성 함수(Composite Function)라 하고, 다음과 같이 나타낸다.

- 일반적으로 두 함수 f와 g에 대해 이다. (교환 법칙 성립 X)

- 두 함수 f와 g에 대해 이다. (결합 법칙 성립)

4. 일차 함수와 이차 함수

■ 일차 함수(Linear Function)

- 상수 a(a ≠ 0), b에 대해 함수 y = ax + b를 일차 함수(Linear Function)라 하며, 일차 함수의 그래프는 직선으로 나타내어 진다.

- 이 때, 상수 a를 기울기(Slope)라 하며, 기울기는 x가 1만큼 증가할 때 y가 a만큼 증가하거나 감소함을 나타낸다.

    - a > 0 이면, x가 1만큼 증가할 때, y는 a 만큼 증가

    - a < 0 이면, x가 1만큼 증가할 때, y는 |a| 만큼 감소

- x = 0이면, y = b이고, 직선이 y축을 절단한다. 이 때, y = b 를 y-절편(y-Intercept)이라고 한다.

- y = 0 이면, x = -(b / a) 이고 직선이 x축을 절단한다. 이 때, x = -(b / a) 를 x-절편(x-Intercept)이라고 한다.

■ 이차 함수(Quadratic Function)

- 상수 a(a ≠ 0), b, c에 대해 함수 y = ax² + bx+c를 이차 함수(Quadratic Function)라 하며, 이차 함수의 그래프는 포물선으로 나타내어 진다.

- 이 때, 이차항의 계수 a는 이차 함수의 기울기를 나타내고, 상수항 c는 y-절편을 나타낸다.

- a > 0 이면 아래로 볼록한 포물선이고, a < 0 이면 위로 볼록한 포물선이다.

- 이차 함수 y = ax²은 y축에 대해 좌우 대칭이고, 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이다.

- 함수 y = ax² 를 y축을 따라 q만큼 평행 이동하면y = ax²+q이고, 이 함수의 그래프는 y축에 대해 좌우 대칭이고 꼭짓점의 좌표는 (0, q)이다. 

- 이차 함수y = ax²+q를 x축을 따라 오른쪽으로 p만큼 평행 이동한 함수는 y = a(x-p)²+q이고, 직선 x = p에 대해 좌우 대칭이고 꼭짓점의 좌표는 (p, q)이다. 

- 한편, 완전제곱식을 이용하여 함수 y = ax² + bx+c를 다음과 같이 y = a(x-p)²+q의 형태로 고칠 수 있다.

- 위의 식에서 p와 q의 값은 다음과 같다.

 

- 특히, a > 0이면 꼭짓점에서 이차 함수는 최솟값을 가지며, a < 0 이면 꼭짓점에서 이차 함수는 최댓값을 갖는데, 이 때, 최댓값 또는 최솟값은 다음과 같다.

- 이차 함수는 다음과 같이 나타내어질 수도 있다. (이 때, α 와 β는 x-절편을 의미한다.)

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내용 출처 : 확률과 통계 입문(이재원 저, 한빛아카데미)