[ADsP] 데이터 분석 : 통계 분석 - 시계열 예측

데이터 분석 : 통계 분석 - 시계열 예측

시계열 자료(Time Series)

• 시간의 흐름에 따라 관측된 데이터
• 시계열 분석을 위해서는 정상성을 만족해야 함.

 

정상성(Stationary)

• 시계열의 수준과 분산에 체계적인 변화가 없고, 주기적 변동이 없다는 것
• 미래는 확률적으로 과거와 동일하다는 것

 

정상 시계열의 조건

• 평균은 모든 시점(시간 t)에 대해 일정하다.
• 분산은 모든 시점(시간 t)에 대해 일정하다.
• 공분산은 시점(시간 t) 에 의존하지 않고, 단지 시차에만 의존한다.

 

정상 시계열 전환

정상 시계열로 전환하는 방법

• 비정상시계열 자료는 정상성을 만족하도록 데이터를 정상 시계열로 만든 후 시계열 분석을 수행함.
• 평균이 일정하지 않은 경우 : 원계열에 차분 사용
• 계절성을 갖는 비정상 시계열 : 계절 차분 사용
• 분산이 일정하지 않은 경우 : 원계열에 자연 로그(변환) 사용

 

차분

• 현 시점의 자료 값에서 전 시점의 자료 값을 빼 주는 것 의미함.

 

시계열 모형

AR 모형 자기 회귀 모형

• AR(p) : 현 시점의 자료가 p 시점 전의 유한 개의 과거 자료로 설명될 수 있음.
• 현 시점의 시계열 자료에 과거 1시점 이전의 자료만 영향을 주면 이를 1차 자기 회귀 모형이라고 하고 AR(1) 라고 함.

 

MA 모형 이동 평균 모형

• 최근 데이터의 평균을 예측치로 사용하는 방법
• 각 과거치는 동일 가중치가 주어짐.
• 현시점의 자료가 유한 개의 과거 백색 잡음(정상 시계열)의 선형 결합으로 표현되었기 때문에 항상 정상성을 만족함.
• MA(p) : 과거 p시점 이전 오차들에서 현재항의 상태를 추론함.

 

ARIMA 모형 자기회귀 누적 이동 평균 모형

• 현재와 추세간의 관계를 정의한 것
• 많은 시계열 자료가 ARIMA 모형을 따름.
• ARIMA 모형은 비정상시계열 모형이며 차분이나 변환을 통해 AR, MA, ARMA 모형으로 정상화 할 수 있음.
• ARIMA(p, d, q)
  • p : AR모형 차수
  • d : 차분
  • q : MA모형 차수
• ARIMA(1, 2, 3) 이라면 2번 차분해서 ARMA 모형이 될 수 있음.
• ARIMA(0, 1, 3) : IMA(1, 3) 모형이고 이것을 1번 차분하면 MA(3) 모형이 됨.
• ARIMA(2, 3, 0) : ARI(2, 3) 모형이고, 이것을 3번 차분하면 AR(2) 모형이 됨.

 

ACF, PACF, 백색 잡음(White Noise)

자기 상관 함수(Auto-Correlation Function, ACF)

• 시계열 데이터의 자기 상관성을 파악하기 위한 함수
• 시계열의 관측치 `Y_{t}` 와 `Y_{t-k}` 간 상관 계수를 `k` 의 함수 형태로 표시한 것 (`k` : 시간 단위)
• -1 ≤ autocorr(`Y_{t}`, `Y_{t-k}`) ≤ 1
  • `k` 가 커질 수록 ACF는 0으로 수렴함.

 

부분 자기 상관 함수(Partial ACF, PACF)

•  `Y_{t}` 와 `Y_{t-k}` 중간에 있는 값들의 영향을 제외시킨 `Y_{t}` 와 `Y_{t-k}` 사이의 직접적 상관 관계를 파악하기 위한 함수

 

백색 잡음(White Noise)

• 시계열 자료 중 자기상관이 전혀 없는 특별한 경우
• 시계열의 평균이 0, 분산이 일정한 값, 자기공분산이 0인 경우
• 현재 값이 미래 예측에 전혀 도움이 되지 못함.
• 회귀 분석의 오차항과 비슷한 개념

 

시계열 모형

	자기 회귀(AR)	이동 평균(MA)	자기 회귀 이동 평균(ARMA)
자기 상관 함수	지수적 감소	q+1 차항부터 절단 모양	q+1 차항부터 절단 모양
부분 자기 상관 함수	p+1 차항부터 절단 모양	지수적 감소	p+1 차항부터 절단 모양

이미지 출처 : https://sodayeong.tistory.com/36?category=858182

 

분해 시계열

• 시계열에 영향을 주는 일반적인 요인을 시계열에서 분리해 분석하는 방법

 

분해 요인

요인	설명
추세 요인 (Trend Factor)	자료의 그림을 그렸을 때 그 형태가 오르거나 내리는 등 자료가 어떤 특정한 형태를 취할 때
계절 요인 (Seasonal Factor)	계절에 따라, 고정된 주기에 따라 자료가 변화하는 경우
순환 요인 (Cyclical Factor)	물가 상승률, 급격한 인구 증가 등의 이유로 알려지지 않은 주기를 가지고 자료가 변화하는 경우
불규칙 요인 (Irregular Factor)	위 세 가지 요인으로 설명할 수 없는 회귀 분석에서 오차에 해당하는 요인에 의해 발생하는 경우