벨만-포드 알고리즘(Bellman-Ford Algorithm)

벨만-포드 알고리즘(Bellman-Ford Algorithm)

• 음수 가중치가 있는 그래프를 다룰 때 사용하는 알고리즘
• 그래프의 모든 에지에 대해 다익스트라의 그리디 선택 방법을 (V - 1)번 반복하여 점진적으로 최단 거리를 찾음.
  • V : 정점의 개수
• 다익스트라 알고리즘보다 높은 점근적 시간 복잡도를 가짐.
• 다익스트라 알고리즘이 잘못 해석할 수 있는 그래프에 대해서도 정확한 결과를 제공함.

 

코드 1

• 음수 가중치 사이클 이 없을 경우

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
 
struct Edge {
    int src;
    int dst;
    int weight;
};
 
const int UNKNOWN = INT_MAX;
 
vector<int> BellmanFord(vector<Edge> edges, int V, int start) {
    vector<int> distance(V, UNKNOWN);
    distance[start] = 0;
 
    // (V - 1)번 반복
    for (int i = 0; i < V - 1; i++) {
        // 전체 에지에 대해 반복
        for (auto& e : edges) {
            // 에지의 시작 정점의 거리 값이 UNKNOWN이면 스킵
            if (distance[e.src] == UNKNOWN) {
                continue;
            }
 
            // 인접한 정점의 거리 값이 새로운 경로에 의한 거리 값보다 크면
            // 거리 값을 업데이트함.
            if (distance[e.dst] > distance[e.src] + e.weight) {
                distance[e.dst] = distance[e.src] + e.weight;
            }
        }
        return distance;
    }
}
 
int main() {
    int V = 5;            // 정점 개수
    vector<Edge> edges;   // 에지 포인터의 벡터
 
    vector<vector<int>> edge_map {
        {0, 1, 3},
        {1, 2, 5},
        {1, 3, 10},
        {3, 2, -7},
        {2, 4, 2}
    };
 
    for (auto& e : edge_map) {
        edges.emplace_back(Edge {e[0], e[1], e[2]});
    }
 
    int start = 0;
    vector<int> distance = BellmanFord(edges, V, start);
 
    // 벨만-포드 알고리즘 구현 함수는 각 정점의 최단 거리 값 배열을 반환함.
    // 이 값을 화면에 출력하여 결과를 확인할 수 있음.
    cout << "[" << start << "번 정점으로부터 최소 거리]" << endl;
 
    for (int i = 0; i < distance.size(); i++) {
        if (distance[i] == UNKNOWN) {
            cout << i <<"번 정점: 방문하지 않음!" << endl;
        }
        else {
            cout << i << "번 정점: " << distance[i] << endl;
        }
    }
 
    return 0;
}

결과 1

[0번 정점으로부터 최소 거리]
0번 정점: 0
1번 정점: 3
2번 정점: 6
3번 정점: 13
4번 정점: 8

 

코드 2

• 음수 가중치 사이클 이 있을 경우

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
 
struct Edge {
    int src;
    int dst;
    int weight;
};
 
const int UNKNOWN = INT_MAX;
 
vector<int> BellmanFord(vector<Edge> edges, int V, int start) {
    vector<int> distance(V, UNKNOWN);
    distance[start] = 0;
 
    // (V - 1)번 반복
    for (int i = 0; i < V - 1; i++) {
        // 전체 에지에 대해 반복
        for (auto& e : edges) {
            // 에지의 시작 정점의 거리 값이 UNKNOWN이면 스킵
            if (distance[e.src] == UNKNOWN) {
                continue;
            }
 
            // 인접한 정점의 거리 값이 새로운 경로에 의한 거리 값보다 크면
            // 거리 값을 업데이트함.
            if (distance[e.dst] > distance[e.src] + e.weight) {
                distance[e.dst] = distance[e.src] + e.weight;
            }
        }
    }
 
    // 음수 가중치 사이클이 있는지 검사
    for (auto& e : edges) {
        if (distance[e.src] == UNKNOWN) {
            continue;
        }
 
        if (distance[e.dst] > distance[e.src] + e.weight) {
            cout << "음수 가중치 사이클 발견!" << endl;
            return {};
        }
    }
 
    return distance;
}
 
int main() {
    int V = 6;            // 정점 개수
    vector<Edge> edges;   // 에지 포인터의 벡터
 
    vector<vector<int>> edge_map {
        {0, 1, 3},
        {1, 3, -8},
        {2, 1, 3},
        {2, 5, 5},
        {3, 2, 3},
        {2, 4, 2},
        {4, 5, -1},
        {5, 1, 8}
    };
 
    for (auto& e : edge_map) {
        edges.emplace_back(Edge {e[0], e[1], e[2]});
    }
 
    int start = 0;
    vector<int> distance = BellmanFord(edges, V, start);
 
    if (!distance.empty()) {
        cout << "[" << start << "번 정점으로부터 최소 거리]" << endl;
 
        for (int i = 0; i < distance.size(); i++) {
            if (distance[i] == UNKNOWN) {
                cout << i <<"번 정점: 방문하지 않음!" << endl;
            }
            else {
                cout << i << "번 정점: " << distance[i] << endl;
            }
        }
    }
 
    return 0;
}

결과 2

음수 가중치 사이클 발견!