푸리에 해석(Fourier Analysis)

프랑스의 수학자이자 물리학자인 장 밥티스트 조제프 푸리에(Jean-Baptiste Joseph Fourier)가 1803년 그의 저서 <열의 해석적 이론>에서 "임의의 함수는 삼각함수의 급수로 나타낼 수 있다."고 주장했는데, 이것을 푸리에 정리(Fourier Theorem)라 한다.
푸리에 정리를 바탕으로 주기 함수를 삼각함수의 급수로 나타내는 것을 푸리에 급수(Fourier Series)라고 한다.
주기 함수가 아닌 유한 구간에서 정의된 함수를 주기 함수로 만들어서 삼각함수의 급수로 나타내는 것을 푸리에 전개(Fourier Expansion)이라고 한다.
이것을 무한 확장한 것을 푸리에 변환(Fourier Transform)이라고 한다.

연속 시간 푸리에 급수(CTFS, Continuous-Time Fourier Series)

모든 주기신호는 진폭과 주파수가 다른 정현파들의 급수로 나타낼 수 있다.
임의의 연속 시간 주기 신호를 다른 연속 시간 주기 신호들의 합으로 표현하는 것을 연속시간 푸리에 급수(CTFS, Continuous-Time Fourier Series)라고 한다.

삼각함수에 의한 연속 시간 푸리에 급수

연속 시간 주기 신호의 CTFS를 삼각함수식으로 일반화하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 각 항의 계수는 다음과 같으며, CTFS 계수(CTFS Coefficient)라고 부른다.

여기서 `\sigma_{T}`는 주기신호 `x(t)`의 한 주기 동안의 적분을 의미한다.
`w_{0}`는 기본 라디안 주파수(Fundamental Radian Frequency)를 나타내며, 주기가 `T_{0}`이면 `f_{0} = \frac{1}{T_{0}}` 이다.
푸리에 급수를 구성하는 각 항의 신호들을 기저 신호(Basis Signal)라 하며, 이와 같은 기저 신호들로 구성되는 정현파 신호들은 기본 주파수 `f_{0}`의 정수배인 고조파 신호(Harmonic Signal)들이다.
- 이 고조파 신호들은 서로 직교(Orthogonal)하는 성질을 가지고 있다.

복소 지수에 의한 연속 시간 푸리에 급수

삼각 함수에 의한 연속 시간 푸리에 급수는 사인 항과 코사인 항의 가중합으로 표현된다.

오일러 공식을 적용하면 두 번째 항과 세 번째 항은 다음과 같이 된다.

그러므로 삼각함수 신호에 의한 CTFS식은 복소지수함수 신호에 의한 식과 같이 가중합 항이 하나 뿐인 매우 간편한 식으로 표현할 수 있게 된다.

`c_{k}`는 복소지수 형태의 연속 시간 주기 신호에 대한 CTFS 계수이다.

연속 시간 푸리에 변환(CTFT, Continuous-Time Fourier Transform)

현실에서의 실질적인 신호들은 대부분이 주기 신호가 아닌 비주기 신호들이다.
따라서 비주기신호들의 주파수 성분을 찾는 방법이 필요하며, 연속 시간 푸리에 변환(CTFT, Continuous-Time Fourier Transform)을 사용한다.
비주기신호는 기본 주기가 무한대인 주기 신호라고 가정할 수 있으며, 시간 영역에서 주기를 무한대로 접근시키면, 주파수 영역에서는 주파수 선 간격이 0으로 줄어들어 극한으로는 모든 선이 연결되는 연속 스펙트럼이 된다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

w = np.arange(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 0.1)    # 주파수축 설정
N = len(w)    # 전체 주파수축 길이
Xw = np.zeros(N)    # CTFT 결과 계수 저장 배열
T = 1    # 주기를 1로 둔다.
for i in range(-int(N/2), int(N/2)) :    # x축의 N개의 주파수 성분에 대하여
    if i == 0 :
        Xw[i + int(N/2)] = 1    # 싱크함수 f=0에서의 조건
    if i != 0 :
        Xw[i + int(N/2)] = np.sin(i * T/2) / (i / 2)    # CTFT 계수 X(f) 계산

plt.plot(w, Xw, "blue")    # 연속선 그리기
plt.stem(w, Xw, "blue")    # 불연속선 그리기
plt.grid()    # 눈금 그리기
plt.xlabel("w, fequency in radians")    # x축 레이블 넣기
plt.ylabel("X(w)")  # y축 레이블 넣기
plt.title("CTFT, of a non-periodic signal")    # 제목 넣기